Wie unterscheidet sich ein bestimmtes Integral von einem unbestimmten?

Heutzutage ist das Wort "Integral" häufig zu hören, und zwar häufig an den unerwartetsten Orten, zum Beispiel auf dem Börsensender im Fernsehen oder in den Nachrichten. Oft hören wir den Ausdruck "integrale Indikatoren", das Wort "integriert", "integrativ" und dergleichen. Im Großen und Ganzen mögen Beamte und Fernsehmoderatoren verschiedene Modewörter sehr gern, obwohl es unwahrscheinlich ist, dass sie ihre wahre Bedeutung verstehen. Und heute werden wir darüber sprechen, was das Integral ist, welche Arten von Integralen existieren und worin ihre Unterschiede bestehen.

Was ist das Integral

Integral ist ein lateinisches Wort, das uns seit der Antike bekannt ist und das "ganz" oder "voll" bedeutet. Das heißt, es ist klar, dass, wenn ein Gegenstand über einen Gegenstand, zum Beispiel ein Milchgefäß, gesagt wurde, dies bedeutete, dass er voll war und sich so viel Milch darin befand, wie es war.

Im Laufe der Zeit wurde dieses Wort in ganz unterschiedlichen Disziplinen verwendet - in Philosophie, Politik, Wirtschaft, Algebra und Geometrie. Die einfachste Interpretation des Integrals liefert jedoch die Mathematik.

Bestimmte integrale

Das Integral ist also eine bestimmte Summe von Einzelteilen. Hier sind die einfachsten Beispiele für ein klareres Verständnis des Wesens dieses Begriffs:

  1. Das Subjekt ist das Integral (die Summe) der Moleküle.
  2. Ein Blatt in eine Zelle ist ein Integral (Summe) von Zellen.
  3. Das Sonnensystem ist das Integral (die Summe) der Sonne und der Planeten.
  4. Die Gesellschaft ist ein integraler Bestandteil der Menschen.
  5. Das Segment ist das Integral (Summe) von Metern. Wenn ein kleines Segment, dann Zentimeter, Millimeter oder mikroskopische Segmente.
  6. Die Fläche einer Oberfläche ist ein Integral aus Quadratmetern, Quadratzentimetern oder Millimetern sowie mikroskopischen Flächen.
  7. Das Volumen ist das Integral von Kubikmetern oder, wie sie genannt werden - Litern.

Was sind definierte und unbestimmte Integrale?

Beginnen wir mit einem bestimmten Punkt, da dessen Bedeutung leichter zu verstehen ist.

Geometrie untersucht das Gebiet . Wenn Sie beispielsweise zu Hause Tapeten kleben möchten, müssen Sie den Bereich der Wände kennen, um herauszufinden, wie viel Tapete Sie kaufen sollten. Dann multiplizieren Sie einfach die Länge der Wand mit der Höhe und erhalten die Fläche. In diesem Fall ist dieser Bereich ein Integral von Quadratmetern oder Zentimetern, je nachdem, in welcher Einheit Sie ihn gemessen haben. Die Flächen, deren Fläche wir berechnen müssen, haben jedoch nicht immer die Form eines Rechtecks, Quadrats oder sogar eines Kreises. In den meisten Fällen handelt es sich um komplexe Formen mit gewellten Seiten. Das häufigste Beispiel ist die Fläche einer Figur unter einer Kurve mit der Gleichung y = 1 / x. Tatsache ist, dass es unmöglich ist, seine Fläche mit gewöhnlichen Formeln zu finden, mit denen wir die Fläche eines Quadrats, eines Kreises oder sogar einer Kugel finden. Zu diesem Zweck wurde ein bestimmtes Integral entwickelt.

Die Essenz der Methode ist, dass unsere komplexe Form in sehr enge Rechtecke unterteilt werden muss, die so schmal sind, dass die Höhe von jeweils zwei benachbarten nahezu gleich ist. Es ist klar, dass es tatsächlich möglich ist, die Dicke dieser Rechtecke unendlich zu verringern, so dass die Größe dx verwendet wird, um ihre Dicke anzuzeigen. X ist die Koordinate, und das Präfix d ist die Bezeichnung einer unendlich abnehmenden Größe. Wenn wir also dx schreiben, bedeutet dies, dass wir ein Segment entlang der x-Achse nehmen, dessen Länge sehr klein ist, fast Null.

Wir haben uns also bereits darauf geeinigt, dass die Fläche einer Figur ein Integral aus Quadratmetern oder anderen Figuren mit kleineren Flächen ist. Dann ist unsere Figur, deren Bereich wir suchen, das Integral oder die Summe jener unendlich dünnen Rechtecke, in die wir sie unterteilt haben. Und seine Fläche ist die Summe ihrer Flächen. Das heißt, unsere gesamte Aufgabe ist es, die Fläche jedes dieser Rechtecke zu finden und sie dann alle zu addieren - dies ist ein bestimmtes Integral.

Lassen Sie uns nun über das unbestimmte Integral sprechen. Um zu verstehen, was es ist, müssen Sie zuerst etwas über das Derivat lernen. Also fangen wir an.

Die Ableitung ist der Neigungswinkel der Tangente zu einem beliebigen Diagramm an einem bestimmten Punkt. Mit anderen Worten, die Ableitung gibt an, um wie viel der Graph an einer bestimmten Stelle geneigt ist. Beispielsweise hat eine gerade Linie an jedem Punkt dieselbe Steigung und die Kurve ist unterschiedlich, kann jedoch wiederholt werden. Für die Berechnung der Ableitung gibt es spezielle Formeln, deren Berechnung als Differenzierung bezeichnet wird. Dh Differenzierung ist die Bestimmung des Winkels des Graphen an einem bestimmten Punkt.

Tabelle der unbestimmten Grundintegrale

Und um das Gegenteil zu erreichen - um die Formel des Graphen anhand des Neigungswinkels herauszufinden, greifen Sie auf die Integrationsoperation oder die Summierung von Daten über alle Punkte zurück. Integration und Differenzierung sind zwei wechselseitige Prozesse. Nur hier verwenden sie nicht das Integral, das im ersten Absatz (zur Bestimmung der Fläche) war, sondern das andere - das Unbestimmte, dh ohne Grenzen.

Angenommen, wir wissen, dass die Ableitung einer bestimmten Funktion gleich 5 ist. 5 ist der Winkel des Graphen zur x-Achse an einem bestimmten Punkt. Wenn wir dann die Ableitung integrieren, lernen wir, dass die Funktion dieser Ableitung, die auch als Primitiv bezeichnet wird, y = 5x + c ist, wobei c eine beliebige Zahl ist. Zur Integration sowie zur Differenzierung gibt es spezielle Formeln, die in den Tabellen zu finden sind.

Fazit

Lassen Sie uns abschließend zusammenfassen, dass der Hauptunterschied zwischen einem bestimmten Integral und einem unbestimmten in ihren Zuordnungen besteht. Bestimmte Integrale werden verwendet, um begrenzte Parameter wie Fläche, Länge oder Volumen und unbegrenzt zu berechnen, wenn Parameter berechnet werden, die keine Grenzen haben, dh Funktionen.

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